第1章 背景知识

1.1 概率论相关

1.1.1 期望

期望定义：

$$E[X]=\sum_{i=1}^{m} x_i P\{\omega\in \Omega: X(\omega)=x_i\}$$

包含信息：滤波$\mathcal{F}_t$，时期$T$的随机变量的期望$X_T(T\geq t)$定义如下：

$$E[X_T|\mathcal{F}_t]=E_t[X_T]$$

当$T=t$时，称$X_t$对于$F_t$是可测的，即$X_t=E[X_t]$.

1.1.2 迭代期望

给定滤波$\mathcal{F}_t \subset \mathcal{F}_s$，

$$E_t[X_T]=E[X_T|\mathcal{F}_t]=E[E[X_T|\mathcal{F}_s]|\mathcal{F}_t]$$

1.1.3 鞅

$$E_t[S_s]=S_t, 0\leq t \leq s \leq T，$$

则称随机过程$S_t$为鞅。

第2章 布朗运动

2.1 定义

给定一系列i.i.d的随机变量$X_1$, ... , $X_n$，满足

$$E[X_1]=\mu, Var(X_1)=\sigma^2$$

（令$\mu=0$）

定义布朗运动：

$$B_n(t)=\frac{\sum_{i=1}^{nt} X_i}{\sqrt{n}}, i=1,2,...,nt.$$

布朗运动的基本性质：

• 正态分布性质

  • 当$n\to \infty$，$B_n(t)=\frac{\sum_{i=1}^{nt} X_i}{\sqrt{n}} \to N(0, \sigma^2t)$
  • $B_n(t)-B_n(s)=\frac{\sum_{i=1}^{nt} X_i-\sum_{i=1}^{ns} X_i}{\sqrt{n}}=\frac{\sum_{i=ns+1}^{nt} X_i}{\sqrt{n}}\to N(0, \sigma^2(t-s))$

• 独立增量性质

  • $B_n(t_1), B_n(t_2)-B_n(t_1), B_n(t_3)-B_n(t_2)$相互独立

• 轨迹连续性质

  • 当$n\to \infty$时，$B_n(t)$越来越接近一个连续函数

2.1.1 协方差

给定$0\leq s \leq t$，在时刻0有标准布朗运动$B(s)$和$B(t)$的协方差为：

$$cov[B(s), B(t)]=s$$

2.1.2 停时

• “一种停止观察随机过程的规则”
• 停时T是一个随机变量
• 事件{$T\leq t$}只取决于随机过程在时间t之前（包括t）的信息

2.1.3 反射定理

定义：对于任意给定的t，布朗运动的最大值（同样是随机变量）

$$M(t)=\mathop{sup}_{0\leq s\leq t} B(s)$$

给定$a>0$，定义

$$T_a=inf\{t: B(t)=a\}$$

$T_a$为布朗运动第一次到达a点的时刻，是一个随机时间

定理2.1 反射定理

给定一个布朗运动$B(t)$，对于任意$a>0$，有

$$P(M(t)\geq a) = 2P(B(t)\geq a)=2\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{a}^{\infty}exp(-\frac{x^2}{2t})dx$$

定理2.2

对于任意$a>0, y\geq0$，

$$P[M(t)>a, B(t)<a-y]=P[B(t)>a+y]$$

2.2 布朗运动的性质

2.2.1 Borel-Cantelli引理

定理 3.1 令$A_n (n\geq 1)$ 为某概率空间中的一系列随机时事件序列。若所有$A_n$的概率之和有限，即

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)<\infty$$

当$n\to \infty$时，事件将不会发生，即

$$P(\mathop{lim sup}_{n\to \infty}A_n)=0$$